연속된 자연수의 합 구하기
1부터 5까지의 숫자를 더해보자고 가정해봅시다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5
이제 숫자들을 쌍으로 묶어서 생각해봅시다.
(1 + 5) + (2 + 4) + 3
여기서 묶인 숫자들의 합은 모두 같아요. 이 경우에는 6입니다. 그리고 가운데에 남아있는 숫자는 3이죠. 이제 쌍으로 묶인 숫자들의 개수를 구하고 그 개수에 6을 곱한 다음, 가운데 남아있는 숫자를 더하면 전체 합을 구할 수 있어요.
쌍의 개수는 2개입니다. 그러면 2개 쌍의 합은 2 x 6 = 12이고, 가운데 남은 숫자 3을 더하면 12 + 3 = 15입니다. 따라서, 1부터 5까지의 연속된 자연수의 합은 15입니다.
이 방법은 연속된 자연수의 시작과 끝이 무엇이든 상관없이 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 3부터 7까지의 합을 구하려면 다음과 같이 할 수 있습니다.
3 + 4 + 5 + 6 + 7
쌍으로 묶어서 생각해봅시다.
(3 + 7) + (4 + 6) + 5
묶인 숫자들의 합은 모두 같고, 이 경우에는 10입니다. 쌍의 개수는 2개이고, 가운데 남아있는 숫자는 5입니다. 이제 쌍의 개수에 10을 곱한 다음 가운데 남아있는 숫자를 더하면 전체 합을 구할 수 있습니다.
2 x 10 = 20, 20 + 5 = 25
따라서, 3부터 7까지의 연속된 자연수의 합은 25입니다.
숫자가 커지면 가운데 숫자를 어떻게 찾아낼까요??
좋은 질문이에요! 숫자가 커지면 가운데 숫자를 찾아내는 것이 어려울 수 있습니다. 이런 경우에는 공식을 사용하면 쉽게 합을 구할 수 있습니다. 앞에서 소개한 가우스의 덧셈 공식을 기억하시나요? 시작 숫자가 a이고 끝 숫자가 b인 경우, 다음 공식을 사용해 합을 구할 수 있습니다:
합 = (a + b)(b - a + 1) / 2
예를 들어, 100부터 200까지의 합을 구하려면 공식에 a = 100, b = 200을 대입하면 됩니다.
합 = (100 + 200)(200 - 100 + 1) / 2 = 300 * 101 / 2 = 15,150
따라서, 100부터 200까지의 연속된 자연수의 합은 15,150입니다.
이 공식을 사용하면 숫자가 커도 쉽게 연속된 자연수의 합을 구할 수 있습니다. 가운데 숫자를 따로 찾아내지 않아도 됩니다. 이해하기 쉽게 숫자를 작게 해서 예를 들면, 3부터 7까지의 합을 구하려면 공식에 a = 3, b = 7을 대입하면 됩니다.
합 = (3 + 7)(7 - 3 + 1) / 2 = 10 * 5 / 2 = 25
따라서, 3부터 7까지의 연속된 자연수의 합은 25입니다. 이 방법으로 가운데 숫자를 찾지 않고도 합을 구할 수 있어요!
수준을 좀 올려볼께요. 가우스의 덧셈 공식
연속된 자연수들의 합을 구하는 방법 중 가장 대표적인 것은 가우스(Gauss)의 덧셈 공식이 있습니다. 이 공식은 연속된 자연수 1부터 n까지의 합을 구할 때 사용할 수 있습니다. 가우스의 덧셈 공식은 다음과 같습니다:
합 = n(n + 1) / 2
예를 들어, 1부터 10까지의 연속된 자연수의 합을 구하려면 공식에 n = 10을 대입하면 됩니다.
합 = 10(10 + 1) / 2 = 10 * 11 / 2 = 55
따라서, 1부터 10까지의 연속된 자연수의 합은 55입니다.
만약 연속된 자연수의 시작이 1이 아닌 다른 숫자라면, 아래의 방법을 사용하여 구할 수 있습니다. 시작 숫자가 a이고 끝 숫자가 b인 경우, 다음 공식을 사용합니다:
합 = (a + b)(b - a + 1) / 2
예를 들어, 5부터 10까지의 연속된 자연수의 합을 구하려면 공식에 a = 5, b = 10을 대입하면 됩니다.
합 = (5 + 10)(10 - 5 + 1) / 2 = 15 * 6 / 2 = 45
따라서, 5부터 10까지의 연속된 자연수의 합은 45입니다.
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