약수와 배수 개념 및 예상문제

약수와 배수

약수는 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수를 말합니다. 다시 말해, 어떤 수가 다른 수로 나누어 떨어질 때, 나누어주는 수를 약수라고 합니다. 예를 들어, 1, 2, 3, 6은 6의 약수입니다. 모든 자연수는 1과 그 수 자신을 약수로 가집니다.

배수는 어떤 수의 정수배인 수를 말합니다. 다시 말해, 어떤 수를 정수배하여 얻은 수를 배수라고 합니다. 예를 들어, 3의 배수는 3, 6, 9, 12, ... 등입니다. 모든 자연수는 자기 자신을 포함한 무한한 개의 배수를 가지고 있습니다.

 

시험 예상 문제

1. 12의 모든 약수를 구하시오.
2. 9의 모든 배수 중 100 미만의 수를 구하시오.
3. 40과 60의 최대공약수를 구하시오.
4. 12와 30의 최소공배수를 구하시오.
5. 1부터 20까지의 수 중에서 3의 배수이면서 5의 배수가 아닌 수를 구하시오.
6. 15의 약수 중 짝수를 구하시오.
7. 1부터 100까지의 수 중 4의 배수의 합을 구하시오.
8. 어떤 수가 2, 3, 4의 배수이고, 100 미만일 때 그 수는 얼마인가요?
9. 두 자연수 A, B가 있을 때, A는 B의 약수이자 배수입니다. 이때 A와 B는 어떤 관계가 있나요?
10. 1부터 50까지의 수 중에서 7의 배수이면서 5의 약수를 가진 수를 구하시오.

해설:

1. 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
2. 9의 배수 (100 미만): 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
3. 40과 60의 최대공약수: 20
4. 12와 30의 최소공배수: 60
5. 1부터 20까지의 수 중 3의 배수이면서 5의 배수가 아닌 수: 3, 6, 9, 12, 18
6. 15의 약수 중 짝수: 없음
7. 1부터 100까지의 수 중 4의 배수의 합: 1300
8. 2, 3,4의 배수이고 100 미만인 수: 12
9. 9. A는 B의 약수이자 배수일 때, A와 B는 같은 수입니다. (A = B)
10. 1부터 50까지의 수 중 7의 배수이면서 5의 약수를 가진 수: 35 (7의 배수이고, 약수는 1, 5, 7, 35로 5의 약수를 가짐)

이처럼 약수와 배수에 관한 문제는 수의 성질을 이해하고 그에 따른 연산을 통해 해결할 수 있습니다. 약수와 배수는 사칙연산, 최대공약수, 최소공배수 등의 개념과 관련되어 있어 중요한 수학 개념입니다. 이러한 유형의 문제를 풀 때는 수의 성질을 잘 파악하고, 문제의 조건을 분석하여 적절한 방법을 사용해야 합니다.

상위문제

어려운 문제 1: 두 자연수 A와 B의 최대공약수가 8이고 최소공배수가 360이라고 할 때, A와 B의 합은 얼마인가요?

 

어려운 문제 2: 1부터 100까지의 자연수 중 3의 배수이면서 5의 배수가 아닌 수들의 개수는 몇 개인가요?

 

어려운 문제 3: 1부터 500까지의 자연수 중에서 소수이면서 5의 배수인 수는 몇 개인가요?

 

어려운 문제 4: 어떤 수의 약수의 개수가 6개이며, 그 약수들의 합이 72인 경우, 그 수는 얼마인가요?

 

어려운 문제 5: 양의 정수 x, y, z가 x < y < z이고, x와 z의 최소공배수가 y와 z의 최소공배수와 같다고 할 때, 이러한 조건을 만족하는 (x, y, z) 세 쌍 중 하나를 찾으세요.

 

어려운 문제 6: 자연수 n의 약수들 중에서 홀수인 약수들의 합이 짝수인 약수들의 합과 같다고 할 때, n은 어떤 수의 제곱인가요?

 

어려운 문제 7: 어떤 수가 3의 배수이면서 4의 배수이고, 그 수의 자릿수의 합이 12인 경우, 그 수는 얼마인가요?

 

어려운 문제 8: 자연수 a, b, c가 서로소(서로 약수가 1뿐인)일 때, a^3 + b^3 = c^3을 만족하는 (a, b, c)는 존재하는가요? 존재한다면 예를 들어 보세요.

 

어려운 문제 9: 최대공약수가 1이고 최소공배수가 63인 두 수의 합은 얼마인가요?

 

어려운 문제 10: 1부터 100까지의 자연수 중에서 정확히 3개의 서로 다른 약수를 가지는 수의 개수는 몇 개인가요?

 

정답 및 해설

1. A와 B의 최대공약수가 8이고 최소공배수가 360이므로, A * B = 최대공약수 * 최소공배수 = 8 * 360 = 2880입니다. 이때, A와 B는 8의 배수이므로, A = 8a, B = 8b라고 하면, 8a * 8b = 2880이 됩니다. a * b = 45이므로, (a, b)가 (1, 45), (3, 15), (5, 9)입니다. 따라서

A와 B의 합은 다음과 같습니다.

(a, b) = (1, 45)일 때, A = 8a = 8, B = 8b = 360 (a, b) = (3, 15)일 때, A = 8a = 24, B = 8b = 120 (a, b) = (5, 9)일 때, A = 8a = 40, B = 8b = 72

따라서 A와 B의 합은 8 + 360 = 24 + 120 = 40 + 72 = 368입니다.

1. 1부터 100까지의 수 중에서 3의 배수이면서 5의 배수가 아닌 수의 개수를 구하려면, 3의 배수 중에서 15의 배수를 제외하면 됩니다. 100까지 3의 배수는 33개, 15의 배수는 6개이므로 답은 33 - 6 = 27입니다.
2. 1부터 500까지의 수 중에서 소수이면서 5의 배수인 수는 5뿐입니다. 소수 중에서 5의 배수인 다른 수는 없습니다.
3. 약수의 개수가 6개이며 약수들의 합이 72인 수를 찾으려면, 약수의 쌍을 고려해야 합니다. 약수의 쌍 중 하나는 (1, 해당 수)입니다. 그러므로 약수의 쌍은 세 개입니다. 약수가 1, 2, 4, 8, 9, 18인 36이 이러한 조건을 만족합니다.
4. x와 z의 최소공배수와 y와 z의 최소공배수가 같다면, x와 y의 최대공약수는 x입니다. 이러한 조건을 만족하는 (x, y, z) 중 하나는 (2, 6, 12)입니다.
5. 홀수인 약수들의 합과 짝수인 약수들의 합이 같다면, n은 제곱수입니다. 예를 들어, n = 9인 경우, 홀수 약수들의 합은 1 + 9 = 10이고, 짝수 약수들의 합은 2 + 18 = 10입니다.
6. 3의 배수이면서 4의 배수인 수는 12의 배수입니다. 자릿수의 합이 12인 12의 배수는 48입니다 (4 + 8 = 12).
7. 페르마의 마지막 정리에 따라, a^3 + b^3 = c^3을 만족하는 (a, b, c)는 존재하지 않습니다.
8. 최대공약수가 1이고 최소공배수가 63인 두 수는 서로소인 1과 63입니다. 따라서 두 수의 합은 1 + 63 = 64입니다.
9. 1부터 100까지의 자연수 중에서 정확히 3개의 서로 다른 약수를 가지는 수는 제곱근이 소수인 제곱수입니다. 예를 들어, 9 = 3^2, 25 = 5^2, 49 = 7^2 등입니다. 이러한 수는 약수가 1, 소수, 제곱수입니다. 100까지 이러한 수는 2^2, 3^2, 5^2, 7^2으로 총 4개입니다.

이렇게 어려운 문제도 차근차근 조건을 분석하고, 적절한 방법을 사용하면 해결할 수 있습니다. 약수와 배수는 기본적인 수학 개념이지만 다양한 수학 문제에 응용됩니다. 이를 이해하고 문제를 풀 때 활용하면 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있습니다